분명 필자와 같이 월터 루딘이 집필한 "Principle of Mathematical Analysis"를 읽었을 때 예제 1.1의 세 번째와 네 번째 식이 어떻게 나오는지 고민을 한 사람들이 있을 것이라 생각한다. 이 글에서는 그 두 식을 유도한다. 먼저 집합 \(A\)와 \(B\)를 다음과 같이 정의하자.
\begin{align} A &= \{p\in\mathbb{Q}:(p^2 <2) \land (0<p)\} ,\\ B &= \{p\in\mathbb{Q}:(p^2 > 2)\land(0<p)\}.\end{align}
우리가 유도할 두 식에 접근하기 위해서는 집합 \(A\)에서 어떠한 양의 유리수 \(p\)가 주어져도 \(p\)보다 큰 양의 유리수 \(q\)를 찾을 수 있고 집합 \(B\)에서 어떠한 유리수 \(p\)가 주어져도 \(p\)보다 작은 양의 유리수 \(q\)를 찾을 수 있다는 것을 보여야 한다. 우선 \(q\)를 아래와 같은 식으로 정의하자.
\begin{equation} q = p - \frac{p^2 - 2}{g(p)}. \end{equation}
그러면 집합 \(A\)에서 \(p^2 < 2\)를 만족하는 어떠한 유리수 \(p\)가 주어져도 \(p^2 - 2\)는 음수가 되므로 \(q\)는 \(p\)보다 크며 비슷하게 집합 \(B\)에서 \(p^2 > 2\)를 만족하는 어떠한 유리수 \(p\)가 주어져도 \(p^2 - 2\)는 양수가 되므로 \(q\)는 \(p\)보다 작은 값을 지니게 된다. 이제 \(q\)가 각 집합의 원소가 될 수 있도록 적당한 \(g(p)\)를 찾아보자. 우선 \(q\)가 \(A\)의 원소가 되기 위해서는 \(p^2 < q^2\)과 \(q^2 < 2\)를 만족해야 하며 비슷하게 \(q\)가 \(B\)의 원소가 되기 위해서는 \(p^2 > q^2\)과 \(q^2 > 2\)를 만족해야 한다. 이는 곧 \(q\)가 \(A\)의 원소가 되기 위해서는 \(q^2 -2\)의 값이 영보다 작아야 하며 \(B\)의 원소일 경우 \(q^2 - 2\)가 영보다 커야 한다. 이를 살펴보기 위해서는 \(q^2 - 2\)의 식이 필요하다.
\begin{equation} q^2 - 2 = (p^2 - 2) - \frac{p^2 - 2}{g(p)} + \frac{(p^2 - 2)^2}{g^2(p)}. \end{equation}
위 식을 더 정리하면 아래와 같은 식을 얻게 된다.
\begin{equation} g^2(p)\frac{q^2 - 2}{p^2 - 2} = g^2(p) - 2pg(p) + (p^2 - 2). \end{equation}
\(p\)와 \(q\)가 \(A\)의 원소든 \(B\)의 원소든 어떤 경우라도 위 식에서 왼쪽 항은 항상 영보다 크기 때문에 오른쪽 항도 영보다 크다는 것을 알 수 있다. 오른쪽 식을 인수분해 하면 우리는 다음과 같은 부등식을 얻는다.
\begin{equation} \left( g(p) - (p - \sqrt{2}) \right)\left( g(p) - (p + \sqrt{2}) \right) > 0. \end{equation}
\(p\)를 제거학 위해 \(g(p) = p+a\)라고 가정한다면 아래와 같은 간략한 부등식을 얻는다.
\begin{equation} (a + \sqrt{2})(a - \sqrt{2}) > 0, \quad\text{for }a> \sqrt{2}. \end{equation}
이는 곧 \(p\in A\)보다 항상 큰 \(q\in A\)가 존재한다는 것과 \(p\in B\)보다 항상 작은 \(q\in B\)가 존재한다는 것을 의미한다. 최종적으로 \(q^2 - 2\)의 식에 \(g(p) = p+a\)를 적용하면 아래와 같은 식을 얻게 된다.
\begin{equation} q^2 - 2 = \frac{(p^2 - 2)(a^2 - 2)}{(p + a)^2}, \quad\text{for }a> \sqrt{2}. \end{equation}
이제 \(a = 2\)를 대입하면 책에 쓰여진 식 (3)과 (4)와 동일한 표현을 얻게 된다.
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