힘이 질량 곱하기 가속도라는 개념은 널리 알려졌다. 하지만 힘이 가속도에 왜 비례해야 하는지 숙고해본 사람은 많지 않다고 생각한다. 이 글에서는 힘이 가속도에 비례해야 하는 이유를 알아보고자 한다. 첫 번째 절에서 기초적인 정의를 살펴본다. 각 정의는 예전에 여러 문헌에서 읽어본걸 정리한거라 오류가 있을 수 있으니 - 엄청 옛날이었는데, 어디서 읽었는지 생각이 안 남 - 주의하기 바란다. 두 번째 절에서는 아리스토텔레스의 힘(force)방정식이 무엇인지 살펴보고, 왜 물리법칙이라 칭할 수 없는지, 하지만 왜 뉴턴의 힘방정식은 물리법칙이라 부를 수 있는 살펴볼 것이다. [그냥 더하기·곱하기, 최소작용원리 그런거 언급 안함]
기초적인 정의
물리계(physical system)는 물리법칙으로 분석하고자 하는 우주의 부분집합이다. 물리법칙/자연법칙(physical law)은 과학적 실험을 통해 확인된 경험적 관찰을 바탕으로 한 이론을 뜻한다. 이론이란 어떤 자연현상을 해석하기 위해 논리적으로 일반화한 명제체계다. 이론을 구축하기 위해서는 어떤 자연현상을 인지하는 주체가 능동적으로 - 증거가 부족한 소문과 추측을 사실로 받아들이지 않고 - 정보를 수집해야 하는데 이를 경험적관찰이라고 부른다. 이론이 구축된 후 물리법칙으로 통용되기 위해서는 반복적인 경험적관찰이 필요하고, 통계적해석을 통해 이론과 비교하고 일반화하는데, 이것을 과학적실험이라 부른다. 주어진 한계 내에서는 물리법칙은 진실로 받아들여진다. 고전역학에서 사실로 통용되는 전제가 있다. 모든 물리법칙은 결정론성(deterministic)과 가역성(reversible)을 내표하고 있어야 한다는 것이다. 물리법칙이 결정론성을 띄다는 말은 물리법칙이 물리계가 향하는 미래를 예측할 수 있다는 뜻이며, 가역성을 띈다는 의미는 말은 물리계가 지나온 과거정보가 사라지지 않는다는 것을 의미한다.
아리스토텔레스 왈, \(F = m\dot{x}\)?
뉴턴의 힘방정식은 관성기준좌표계에서 물리계 내에 있는 점입자에 작용하는 힘 \(F\)는 점입자의 질량 \(m\)과 가속도 \(a\)의 곱으로 나타낸다. 반면, 아리스토텔레스는 마찰력이라는 개념이 부재한 세상에서 살았기 때문에 \(F = mv\)라는 결론을 내렸다. 예를 들어, 책상 위에 지우개를 힘을 주어 밀면, 미는 그 순간에는 지우개가 움직이지만 손을 땐 순간 - 즉, 힘이 더 이상 작용하지 않는다면 - 지우개는 멈추게 된다. 따라서 마찰력이라는 개념을 인지하지 못한다면 아리스토텔레스와 같은 결론을 내리는 것은 합리적이다. 비록 그가 내린 결론은 틀렸지만, 결정론성과 가역성을 주의깊게 알아볼 수 있는 좋은 연습이 될 것이라 생각한다.
가역성을 만족하지 않는 아리스토텔레스 힘방정식
편의를 위해 시간이 이산성(discreteness)을 지니고, \(t_{n+1} = t_{n} + \tau\), 일차원 운동만 생각하자. 아리스토텔레서가 제안한 힘방정식을 살짝 고치면, \(x(t + \tau) = \tau F(x,t)/m + x(t)\) 식을 얻게 된다. 분명 현재위치 \(x(t)\)와 현재 주어진 힘 \(F(x,t)\)을 알고 있으므로, 위 방정식은 현재상태에서 미래상태를 명백히 예측할 수 있다. 따라서 결정론성을 내포하고 있다. 하지만 과거정보를 보존하고 있을까? 현재상태 \(x(t)\)는 \(x(t) = \tau F(x,t - \tau)/m + x(t - \tau)\)으로 표현된다. 하지만 우리가 알고 있는 값은 현재상태와 관련된 값이지, 과거상태를 기술하는 정보인 \(F(x, t - \tau)\)와 \(x(t - \tau)\)는 우리가 알지 못한다. 따라서 어떠한 값이 되어도 상관이 없다. 따라서 아리스토텔레스 힘방정식은 가역성을 띄지 못한다. 반면에 뉴턴이 제시한 방정식은 결정론적이며 동시에 가역성도 내포하고 있다. 뉴턴이 제시한 운동방정식은 다음과 같이 미래상태를 기술한다.
\begin{gather}x(t + \tau) = \frac{\tau^{2}}{m}F(x,t) + 2x(t) - x(t - \tau).\end{gather}위 식에서 볼 수 있듯이 미래상태는 현재상태의 정보만 필요한 것이 아니라 과거상태의 정보도 함께 요구하고 있기 때문에 과거상태가 필연적으로 보존되어야 한다.
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